El formalismo Matemático

     ¡Demasiado bonito para ser verdad!. La intuición de Hilbert de que se podían encerrar a las Matemáticas en un corpus único, elegante y abstracto, que parta de unos principios elementales, es decir, de unas intuiciones básicas como lo son los postulados de Euclides para construir la Geometría Clásica, y a partir de ellos y mediante deducción, ir descubriendo todas y cada una de las proposiciones matemáticas, fue imposible.

     Hilbert sabía que si admite cualquier enunciado falso como verdadero, entonces se puede demostrar la veracidad o falsedad de cualquier otro enunciado. Por ejemplo, si se admite como válido que 2 + 2 = 5, restando tres a cada miembro, obtenemos que 2 = 1, por lo que el papa y yo somos uno.De este modo Hilbert intentó demostrar la consistencia de la Aritmética.

     Diremos que un sistema lógico es consistente si carece de paradojas lógicas, es decir, podemos decidir acerca de la verdad o falsedad de cualquier proposición matemática.

     El primer esfuerzo tuvo su recompensa. Si partimos de estos cinco postulados:

  • Dados dos puntos, existe una única recta que pasa por ellos
  • Dado un punto, exisxten infinitas rectas que pasan por él.
  • Es posible construir un círculo de radio cualquiera.
  • Dos ángulos rectos miden lo mismo.
  • Dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta paralela a la anterior que pasa por el punto.
la Geometría Euclídea era consistente y sus postulados independientes unos de otros.

     Quizá, añadiendo nuevos axiomas, se ampliaría la consistencia hasta abarcar a la Aritmética... Misión imposible.

     En el año 1931, Kurt Gödel demostró que cualquiera que sean los axiomas de partida, incluso si son tan numerosos como para que se pueda contener la Aritmética, siempre existirá una proposición que pueda ser enmarcada en el lenguaje de dichos signos y cuya verdad o falsedad no podrá ser decidida utilizando los axiomas o reglas de partida.

     En consecuencia, la verdad matemática está más allá de reglas o nuevos axiomas. Añadir nuevos postulados sólo sirve para crear nuevas proposiciones matemáticas indecidibles.

     No obstante, la elegancia y el gusto por la abstracción que implicaba el formalismo matemático siguió en boga pese a este gran contratiempo con la creación del proyecto Bourbaki. De hecho, esta escuela matemática es la que me ofreció fundamentalmente la Universidad de Granada cuando estudié allí la carrera de Matemáticas.

     Pero desde mi punto de vista, no podemos ser tan derrotistas para intentar comprender ¿qué son las Matemáticas?. Ya sabemos que organizar las matemáticas en una especie de malla de certeza como las piezas de un rompecabezas lógico siempre está amenazada por su autoconsistencia, pero la carencia de esta consistencia parece que de momento no ha tenido consecuencias irreparables. Desde hace veinticinco siglos, los matemáticos han estado corrigiendo sus errores y viendo cómo su ciencia se enriquecía. Esto nos puede dar cierta tranquilidad por el momento.

     No quisiera dar la impresión de que cualquier sistema matemático inconsistente, como lo es la Aritmética, es falso. Ni mucho menos. Sólo que existen proposiciones cuya verdad o falsedad es indecidible mediante sus matemáticas. La deducción no es el único modo por tanto de descubrir la verdad matemática, ni por extensión, de la verdad en la naturaleza.
Decía Hilbert, tras este resultado, que si se define religión como un sistema de ideas que contienen enunciados indemostrables, entonces las Matemáticas no sólo serían una religión, sino que es la única que desde ella misma puede demostrarlo.

     Me parece anecdótica esta conclusión. Después de siglos de investigación, hemos vuelto a la idea pitagórica de ver las Matemáticas como una religión.

     Yo apostaría tras esta reflexión de hoy por un encuentro entre el formalismo puro matemático y la religión; como decía Javier Leach, por un encuentro entre el signo y el símbolo, dos lenguajes que no se excluyen, más al contrario, y ahora me apunto a otra idea de Carl Sagan; son dos modos de descubrir parte de una verdad que destierre al verdadero demonio del pensamiento humano: la superstición.

En este libro se anima a un pensamiento crítico que luche contra la pseudociencias.

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