Las paradojas y la Metafísica

     Voy a empezar presentando algunas paradojas famosas.

PARADOJA DEL BARBERO: “En un mundo donde todo son afeitados sólo hay un barbero. Ocurre que éste afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero?

PARADOJA DE SAN PABLO: “Todos los cretenses son unos mentirosos, uno de sus propios poetas me lo ha dicho”

     Los anteriores problemas lógicos son paradojas porque son irresolubles. Por ejemplo, en la primera, el barbero no se afeita a sí mismo porque afeita a los demás, y ninguno de los demás puede afeitar al barbero porque no son barberos al ser afeitados precisamente por el barbero.

     En la segunda, si el poeta mintiera, como es cretense, realmente estaría diciendo la verdad, cosa que es imposible ya que como cretense que es, es mentiroso.

     Voy a proponer otra paradoja mucho más fácil de digerir: “Lo que estoy diciendo es falso. ¿Lo es realmente?”.

     Si lo fuera, sería falso que lo que digo es falso, por tanto debe ser verdadero, pero no lo puede ser porque estoy diciendo que es falso.

     Observamos que el método clásico de reducción al absurdo que emplearon los griegos para demostrar muchas proposiciones matemáticas no me permite determinar si es verdadero o falso. Por tanto no sería verdad que algo que no es falso es verdadero. La cuestión es ¿alguien entiende que si algo no es verdad entonces no tiene por qué ser falso?. Creo que ir por aquí es liar más la cosa.

     Los ejemplos anteriores son paradojas: no podemos decidir acerca de la verdad o falsedad de lo que se afirma. La lógica clásica no funciona. Quizá es que el método de reducción al absurdo no sea válido como regla de la lógica (no sería válido suponer que una cosa es por ejemplo falsa y a partir de ahí ver que existe una contradicción, por tanto debe ser verdadera) . Incluso existe una escuela matemática actual, el constructivismo, de la que hablaré en una próxima entrada que intenta evitar estas paradojas negando entre otras cosas el método de reducción al absurdo (tampoco acepta la exitencia de infinito)

Triángulo imposible de Penrose, una paradoja de la perspectiva

     Las paradojas atrajeron la atención de no pocos matemáticos del siglo XX. La cuestión era que si las Matemáticas se hallarían fuera de estas paradojas, es decir, ¿existen problemas de Matemáticas que no pueden abordarse desde las propias Matemáticas?

     David Hilbert se preocupó especialmente por esta cuestión y en principio creyó intuitivamente que cualquier problema matemático podía resolverse con Matemáticas. Diremos que un sistema lógico matemático es consistente si se halla fuera de paradojas matemáticas. ¿Su intuición conducía a una verdad?

     Creía, o esperaba mejor, que las Matemáticas pudieran ser una especie de mosaico de fórmulas que podían crearse a partir de cualquier conjunto de axiomas iniciales con sólo la manipulación de símbolos y de acuerdo con unas reglas lógicas. La tarea para construir las Matemáticas consistía en en elegir bien los axiomas de partida de modo que éstos no generasen paradojas.

     Éste es el famoso segundo problema de Hilbert que propuso en Bolonia en 1900. En concreto, consistía en demostrar la consistencia de la Aritmética. La fama de este problema proviene de que la solución que poco después de se dio a este problema cambió para siempre la visión de la lógica matemática con su consecuente influencia en la Filosofía y en el pensamiento en general.

     Pero éste también es un tema para una próxima entrada.

     De momento voy a proponeros algunos problemas de Aritmética de los que no sabemos nada acerca de su verdad o falsedad. Quizá sean verdad, quizá sean falsos, quizá nunca podremos saberlo, quizá mañana alguien se haga famoso al descubrir una demostración maravillosa.

     Al hablar de “quizá” en Matemáticas estamos introduciendo un elemento de incertidumbre en la lógica, es decir, no se puede tener la certeza de que algo matemático pueda controlarse con la propia lógica matemática. Esta incertidumbre ha calado en lo más profundo del pensamiento humano y actualmente impregna la más fundamental de todas las ciencias, la Física Cuántica.

     Lo que quiero decir es que no sólo hemos encontrando límites en los sistemas matemáticos; la misma realidad objetiva es reacia a dejarse controlar, ya que se resiste a nuestros intentos de encerrarla en estructuras deterministas matemáticas.

     En las estructuras caóticas y probabilísticas de la naturaleza, la impredicibilidad aparece junto con la incapacidad de predecir el futuro. Por otro lado, la existencia de atractores en un sistema caótico, revela que un orden emerge de un desorden, algo que las Matemáticas aún no están preparadas para comprender completamente y quizá nunca lo hagan.

     Podría añadir que con la visión de Galileo, la naturaleza parecía estar escrita en un lenguaje matemático. Sin embargo, este lenguaje no se reduce a triángulos, circunferencias y otras figuras geométricas elementales. Para conocer hoy la naturaleza necesitamos signos y símbolos. La formalización del lenguaje matemático nos ha dado los signos. Sin embargo ciertos problemas matemáticos sencillos de enunciado puede ser endiabladamente difíciles de demostrar o incluso, quizá no seamos nunca capaces de demostrarlos. Son las conjeturas.

     El interés de las conjeturas es que quizá nunca se podrán resolver. (No hay certeza de que algún supermatemático descubra una superdemostración algún día y menos un superodenador superpotente).

     Voy a enunciar algunas conjeturas famosas:

CONJETURA 1: No hay números perfectos impares (un número es perfecto si es natural, mayor que 1 y es igual a la suma de sus divisores distintos de él mismo, por ejemplo, 6, 28, 496, 8128...)

Por ejemplo: 6 = 1+2+3; 28 = 1+2+4+7+14, etc.

CONJETURA 2: Construye una lista de números siguiendo los siguientes pasos:

• Si el número es impar, el siguiente que pongas es el triple del número más uno.
• Si el número es par, el siguiente es la mitad.
  Da igual por el número natural por el que se empiece, siempre la lista acabará en uno ¿Existe una lista que no lo cumpla?

CONJETURA DE GOLDBACH: Cualquier número par mayor que 2 puede ser escrito como la suma de dos número primos.

Por ejemplo 4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 3+5; 10 = 3+7, etc

     Un ordenador puede hacer un razonamiento basado en signos, y por muy potente que sea, no tendremos certeza de si algún día podrán resolverse conjeturas matemáticas como las anteriores.

     La inteligencia humana es superior a este sistema formal de signos. En una entrada anterior, hablé de la intuición como si fuera una especie de puente que me permitía avanzar más rápidamente hacia una certeza si es acertada, o no.

     Ahora os hablaré de otra faceta más de la inteligencia humana que no tiene un ordenador. Es el pensamiento simbólico, una característica puramente humana y es el lenguaje propio de la Metafísica. Con éste se intenta buscar verdades que escapan del control del razonamiento lógico humano.

     Dado que nuestras mentes son capaces de hacerse preguntas lógicamente correctas acerca de las primeras y últimas cuestiones, necesitamos de este lenguaje metafísico para hablar de aquello que no puede tratar ni las Matemáticas ni las Ciencias Naturales. Las preguntas metafísicas necesitan de un lenguaje simbólico no meramente formal ni tampoco empírico para poder contestarse.

     En este sentido, es propio de la inteligencia humana creer en algún dios. Ello es lógico porque cualquier cultura por arcaica que sea, es de naturaleza religiosa. “Los ateos no nacen, se hacen”, me dicen algunos.

     Las religiones abrahámicas confían en las herramientas de la lógica y la metafísica para mostrar la razonabilidad de la creencia del absoluto. Sin embargo, este tipo de religiones, como lo es la católica, va un paso más allá. Confía en un tipo de argumento lógico basado en la intuición de que debe existir un absoluto. Propone tener fe en un Dios trascendente que está más allá de la lógica y la evidencia mundana.

     A menudo, desde esta perspectiva metafísica, Dios lleva a los individuos a sentir una misión personal que les hace comprometerse con el mundo como respuesta a la acción de Dios. El lenguaje para describir esta experiencia va más allá de ser un lenguaje científico y matemático. Precisa de símbolos teológicos que permiten argumentar actitudes, relaciones personales y experiencias de confianza, misericordia y perdón.