Singularidades

       Una de las limitaciones que más temen los físicos teóricos en su descripción matemática de modelos es la introducción del infinito en sus cálculos. Por ejemplo, las partículas fundamentales de la teoría cuántica clásica, son consideradas como puntos de volumen cero, y en consecuencia, en muchos cálculos habrá que dividir entre cero. Imaginemos un electrón que es atraído por una fuente puntual con una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente, de manera que al acercarse a la fuente la fuerza irá aumentando hasta que al final, al disminuir la distancia hasta anularse en un punto, habrá que dividir entre cero, es decir, ¡hasta que la fuerza tenga en ese punto un valor infinito!. Con el campo gravitatorio clásico de Newton ocurriría lo mismo porque su fórmula es similar. En el Big Bang, la expansión del Universo comienza en un punto de volumen del espacio en el que toda la materia y energía tendrían un valor infinito encerrado en ese punto (por tanto sin dimensión). Reconozco que me cuesta mucho imaginar que todo el universo pueda concentrarse en un punto sin volumen, o que puedan haber fuerzas infinitas y por eso me planteo: ¿tienen realmente sentido físico estos infinitos o son "daños colaterales" de las matemáticas aplicadas en el modelo teórico? (Esta actividad está recomendada a partir de 4º ESO)

Una estrella engullida por un agujero negro. 

Los agujeros negros son singularidades predecidas teóricamente 

por la Teoría General de la Relatividad.

        Bueno, creo que no soy el único que se pregunta por esto. En  general los físicos, conscientes de lo  que hacen, aislan esta pregunta llamando a estos puntos singularidades.Y el objetivo del físico (o del matemático) es evitar estas singularidades (en matemáticas se llaman indeterminaciones), ya que las leyes físicas dejan de tener aplicación. Para ello existe una estratagema matemática llamada renormalización. Dicho rápido y sin entrar en detalles: todo consiste en dividir un infinito entre otro de manera que obtengamos un número finito que coincida con las observaciones o con las mediciones experimentales. Pero como sabemos, matemáticamente dividir entre infinito entre infinito es una indeterminación (su resultado no está determinado porque puede ser más o menos infinito, o cualquier número). 

      El infinito es muy engañoso porque es un concepto muy poco intiutivo, como ya estudiamos en otra entrada de este blog cuando hablé de los números transfinitos. Os pongo un ejemplo sencillo de lo engañoso que puede resultar trabajar con infinito:

       Consideremos la suma de todos los números naturales, 1+2+3+4... Obtenemos evidentemente un valor infinito.

       Sustituyamos la anterior serie por su doble, es decir, 2+4+6+8... Su suma, evidentemente es también infinito.

       Aparentemente, al dividir la primera serie entre la segunda, que es doble de grande que la primera, pues nos saldría 0,5. Pero observemos, que la segunda serie sólo contienen los números pares, es decir y siempre en apariencia, la mitad de números que la primera, por lo que su cociente debería ser dos.

       Para evitar estas paradojas del infinito, muchos científicos modernos, en lugar de renormalizar los valores infinitos, prefieren cambiar toda la teoría física de forma que no aparezcan en ellas puntos singulares de valor infinito.Un ejemplo de esto último se consigue en los campos de fuerza con la moderna teoría de cuerdas, que sustituye las partículas puntuales por cuerdas de dimensiones finitas. El modelo cosmológico de Hawking es otro ejemplo de evitar singularidades físicas en la teoría.  

       Se me queda una cosa en el tintero. Intentemos evitar la indeterminación que resultaría al estudiar la convergencia de la siguiente suceción:

$\left\{{\frac{1+2+3+4...}{2+4+6+8...}}\right\}$

Solución: $\left\{{\frac{1+2+3+4...}{2+4+6+8...}}\right\}\longrightarrow{\frac{1}{2}}$